Zwischenspiel: Von Dorfbarbieren und l├╝genden Kretern

Ein Mathematiker ist wie ein Blinder, der in einem dunklen Raum eine schwarze Katze sucht, die nicht da ist.
Charles Darwin


Schon die alten Griechen kannten eine Reihe sprachlicher Paradoxien, das sind Ausdr├╝cke, die sich selbst widersprechen und damit zu logischem Unsinn f├╝hren. Die einfachste Art liegt in einer Visitenkarte, auf deren Vorderseite steht:


Der Satz auf der R├╝ckseite ist falsch.


Auf der R├╝ckseite lesen wir:


Der Satz auf der R├╝ckseite ist wahr.


Jetzt wird's haarig. Satz (1) behauptet, Satz (2) w├Ąre falsch. Das w├╝rde hei├čen, dass Satz (1) falsch ist, was bedeuten w├╝rde, dass Satz (2) doch wahr ist. Dann aber ist Satz (1) wieder wahr, was bedeutet ... siehe oben.
Die Griechen formulierten das Paradoxon so: Epimenides behauptet: Alle Kreter sind L├╝gner. Da er selbst aus Kreta stammt, hat er gelogen. Also sind doch nicht alle Kreter L├╝gner. Also hat er die Wahrheit gesagt. Also sind alle Kreter L├╝gner ... ad infinitum.
Solche unendliche Schleifen kennen wir auch aus der Datenverarbeitung: Wenn Ihr Betriebssystem wieder mal zusammenbricht, dann meist deshalb, weil es intern in eine unendliche Schleife geraten ist.
Der Mathematiker und Logiker Bertrand Russell formulierte die Sache in der Sprache der Mengenlehre. Das ist ein wenig kompliziert, und darum pr├Ąsentieren wir hier seine vereinfachte Version. Russell definiert den Dorfbarbier wie folgt: Er rasiert alle M├Ąnner, die sich nicht selbst rasieren (Gruppe 1). M├Ąnner, die sich selbst rasieren (Gruppe 2) brauchen den Dorfbarbier nicht.
Soweit so klar. Die Schwierigkeit beginnt wieder bei dem, was wir Selbstreferenz nennen, also Selbstbez├╝glichkeit: In welche Gruppe geh├Ârt der Dorfbarbier? Wenn er sich selbst rasiert (Gruppe 2), dann rasiert er sich laut Definition nicht selbst. Wenn er aber sich nicht selbst rasiert (Gruppe 1), dann rasiert er sich laut Definition selbst.
Noch etwas komplexer ist die Sahe mit W├Ârtern. Es gibt W├Ârter, die sich selbst bedeuten, aber davon finden wir wenige. Das Wort "kurz" ist tats├Ąchlich kurz, und das Wort "Wort" ist selbst ein Wort. Solche W├Ârter nennen wir autonym. Die meisten W├Ârter aber bedeuten nicht sich selbst. "Rot" ist nicht rot, und "Mensch" ist kein Mensch (sondern ein Wort). Solche W├Ârter nennen wir heteronym.
Die Frage "Ist das Wort heteronym selbst heteronym oder ist es autonym?" f├╝hrt uns wieder in einen unendlichen logischen Kreislauf. Denn wenn es autonym ist, dann bedeutet es sich selbst, und das ist heteronym. Ist es aber heteronym, dann bedeutet es eben nicht sich selbst, also ist es autonym. So oder so, wir kommen nicht weiter. Auch hier kommt das Problem dadurch zustande, dass wir etwas definieren und erst danach die Menge, die der Definition entspricht, in sich selbst einreihen wollen.
Was dann die Mengenlehre wirklich in Schwierigkeiten brachte, war die Sache mit der Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Die Argumentation ist die gleiche wie bei den heteronymen W├Ârtern. Und so f├╝hrte die Definition einer Menge, die Gottlob Frege (1848 - 1925) ausdr├╝cklich einf├╝hrte, weil er sie brauchte, zu einem Widerspruch. Die Vertreter der Mengenlehre l├Âsten das Problem auf elegante Weise: Mengen, die zu Widerspr├╝chen f├╝hren, sind keine Mengen (sagen sie), sondern Klassen. Mit anderen Worten: Stolperst du ├╝ber einen Widerspruch, bringe die entsprechende Menge unter Quarant├Ąne. Dann ist alles gut - bis zum n├Ąchsten Widerspruch.
Die Entwickler des Lambda-Kalk├╝ls und der Theorie der Kombinatoren (die wir im letzten Hauptkapitel kennenlernen werden) haben aus der Not eine Tugend gemacht und aus dem l├╝genden Kreter ein wundersames Instrument entwickelt, den Fixpunktoperator, der aus jeder beliebigen Funktion ihren Fixpunkt extrahiert, also jenen Wert, der sich bei Anwendung der Funktion nicht ├Ąndert - und das Ganze ohne Widerspr├╝che, streng konstruktiv, d.h. nachvollziehbar und berechenbar. Der Teufel, sagt man, existiert im Detail; er existiert vor allem in der Vorstellung.

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