Von θ zu ρ ("Von theta zu rho")

Ursprung aller Dinge ist das Unendliche.
Anaximander (610 - 546 v.Chr.)


Mit θ ist Schluss mit "normal". Die alephs k├Ânnen aus den Axiomen der Mengenlehre abgeleitet werden; alle anderen, gr├Â├čeren Zahlen nicht. Deswegen hei├čen alle Zahlen, die wir jetzt erw├Ąhnen, Gro├če Kardinalzahlen, auch wenn der Ausdruck "gro├č" hier unendlich untertrieben ist.
Alle weiteren Zahlen ergeben sich durch Definitionen, die hoch kompliziert sind und eine gr├╝ndliche Kenntnis der Mengenlehre voraussetzen. Dennoch wollen wir wenigstens die n├Ąchste Zahlenklasse, die unerreichbaren Zahlen, konstruktiv erfassen, auch wenn alle mathematisch gebildeten Personen dabei entsetzt aufst├Âhnen werden. Aber wenigstens erhalten wir so eine Ahnung davon, was Cantors Sch├╝ler Felix Hausdorff (1868 - 1942) sich dabei gedacht hat, als er das Konzept 1908 entwickelte. (Sto├čen Sie sich nicht daran, dass die Bezeichnungen in der Literatur nicht einheitlich sind.)
Erst stellen wir uns die Frage: Wozu eigentlich? Mit den alephs kommen wir bis Ω, also bis ans denkbare Ende. Stimmt, aber die alephs sind so gro├č wie Sandk├Ârner im Vergleich zum Ozean, und den Ozean mit Sandk├Ârnern zu vermessen ist etwas frustrierend - vom Weltall bis zum Rand des Universums ganz zu schweigen. Deswegen suchen die Mathematiker nach neuen Ma├čst├Ąben. Also: Vom Sandkorn zur nautischen Meile!
Dazu verwenden wir eine Methode, die wir bei der Verallgemeinerung der arithmetischen Operationen erfolgreich eingesetzt haben: Wir verallgemeinern die Limes-Bildung. Wir setzen:
LIM0 = Nachfolger
LIM1 = ├╝blicher Limes, also ├ťbergang zur n├Ąchsten unendlich gro├čen Zahl. Da wir uns mit Ordinalzahlen gar nicht mehr aufhalten, beziehen wir die Nachfolge-Funktion auf die alephs, sodass gilt:
LIM0 (aleph-0) = aleph-1, und LIM1 (aleph-0) = aleph-ω (= aleph-aleph-0)
Und jetzt geht's los: LIM2 f├╝hrt ├╝ber alle Zahlen hinaus, die mit LIM1 erreichbar sind, also ├╝ber alle alephs hinweg. Manche nennen diese Zahl θ, und dem wollen wir folgen. Es gilt also
LIM2 (aleph-N) = θ (mit beliebig gro├čem N)
Aber was hei├čt das? Es bedeutet, dass wir einen Sprung vom Sandkorn zu einer Sandburg machen, an der wir v├Âllig neue Strukturen entdecken. Diese Sandburg nennen wir θ0, sie ist die erste unerreichbare Zahl. Wenden wir LIM2 auf θ0 an, erhalten wir die n├Ąchste unerreichbare Zahl, die nach mathematischer Terminologie "hyper-unerreichbar" hei├čt, genauer: hyper-1-unerreichbar (die normale Unerreichbarkeit hei├čt dann hyper-0-unerreichbar). Zwischen θ0 und θ1 liegen unermesslich gro├če Abgr├╝nde: Alle alephs f├╝llen die L├╝cke. Von θ1 kommen wir auf die ├╝bliche Weise zu θ2, θ3, ... θaleph-0 ... und ganz ganz weit in der Ferne dann zu θθ.
So langsam haben wir alle K├╝sten mit Sandburgen zugebaut, jetzt wagen wir uns aufs gro├če Meer: LIM3 f├╝hrt ├╝ber alles hinaus, was wir bisher erreichten. Und so geht es mit den Limes-Bildungen voran, bis LIMaleph-0. Aber das ist immer noch erst der Anfang! Denn als Indizes der LIMes k├Ânnen wir nat├╝rlich jede Zahl einsetzen, die wir bisher erzeugt haben, also auch unerreichbare Zahlen, hyper-unerreichbare Zahlen, hyper-hyper-unerreichbare Zahlen usw. Und auch hier k├Ânnen wir den gr├Â├čten denkbaren Sprung wagen und behaupten:


LIMkx) = k


Womit wir vielleicht schon alle Ozeane der Erde mit Sandburgen zugebaut haben - aber etwas Neues finden wir auf diese Weise nicht!
Also hat sich Paul Mahlo 1912 Gedanken gemacht, wie man die Ozeane der Erde verlassen und die unendlichen Weiten des Weltalls angemessen vermessen kann. Die Zahlen, die er sich ausdachte, st├╝tzen sich in ihrer Definition auf das Unerreichbarkeitskriterium, gehen aber dar├╝ber hinaus - wie, das wird zu kompliziert. Jedenfalls wurden diese neuen Zahlen nach ihm benannt (Mahlo-Zahlen), und er benannte sie mit dem Buchstaben ρ ("rho"). Alles, was wir bisher taten, wiederholt sich, aber in gigantisch gr├Â├čerem Ma├čstab.
Die wahre Definition der unerreichbaren Zahlen geht von den Begriffen "regul├Ąr" (schwer erreichbar) und "singul├Ąr" (leicht erreichbar) aus. Tats├Ąchlich ist ein aleph mit unendlichem Index singul├Ąr, weil die Anzahl der Wege zu dieser Zahl kleiner ist als die Zahl selbst, auch wenn das schwer zu begreifen ist. So gilt aleph-1 als regul├Ąr (schwer erreichbar), aleph-ω dagegen als singul├Ąr (leicht erreichbar), weil die Anzahl der Schritte zu dieser Zahl kleiner ist als die Zahl selbst. aleph-ω ist eine Limes-Zahl, und Hausdorff fragte sich: Gibt es regul├Ąre Limeszahlen? Durch Beantwortung dieser Frage kommt man zu den unerreichbaren Zahlen.

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