Von der eins zu n

Am Anfang ist das Zeichen.
David Hilbert


Wie kommen wir ins Unendliche? Wir fangen klein an, ganz klein, mit unseren Zahlen. In meiner Jugend las ich ein Buch von Alexander Niklitschek mit dem Titel "1, 2, 3 ... Unendlichkeit". Der Titel beschreibt ganz genau unseren Weg ins Unendliche: Von der 1 zur 2, von der 2 zur 3, von der 3 zu n (ein Symbol fĂŒr eine nicht nĂ€her benannte Zahl), und irgendwann kommt dann der Große Sprung. Aber das hat noch Zeit.
Weil wir Mathematik betreiben, sollten wir zweierlei beachten: Erstens muss alles exakt sein, was auch bedeutet, dass wir ganz von vorne anfangen und nichts voraussetzen, außer das, was wir explizit beschreiben oder definieren. Und zweitens sollten wir auch ein paar Symbole verwenden, denn die vereinfachen das Denken.
Also gut: Was ist das Einfachste? Die Zahl 1. Und wie kommen wir weiter? Durch zĂ€hlen, genauer gesagt: durch weiterzĂ€hlen. So gelangen wir von der 1 zur 2, von der 2 zur 3, ... , von n zu n+1, usw. Diese FĂ€higkeit des WeiterzĂ€hlens ist dem Menschen vorbehalten; sie ist eine seiner großen Erfindungen. Zwar können auch KrĂ€hen und andere Tiere entscheiden, ob eine Menge 5 oder 6 Dinge enthĂ€lt. Aber bei dieser Zahl ist's dann zu Ende. Denn die klugen Vögel zĂ€hlen nicht, sie sehen nur Muster. Und ab 6 (höchstens 7) Elementen werden diese Mengen nicht mehr unterscheidbar. Wir aber können von jeder beliebigen Zahl auf die nĂ€chste schließen. Dazu haben wir Notationssysteme entwickelt und auch Namen. Nicht alle Systeme sind gleich gut, aber alle sind irgendwie brauchbar.
Jetzt benötigen wir zweierlei: Erstens ein Symbol fĂŒr Zahlen; und zweitens ein Symbol fĂŒr den Prozess des WeiterzĂ€hlens. Denn der unterscheidet sich vom Ergebnis. Prozess (Operation, Funktion): ZĂ€hle von der Zahl 17 um 1 weiter. Wir nennen diesen Prozess auch: den Nachfolger bestimmen. Ergebnis: 18. Die 18 ist der Nachfolger der 17.
Zahlen kennzeichnen wir so, wie es auch die Urmenschen taten. Sie ritzten Kerben in Hölzer oder Knochen. FĂŒr uns ist es aber einfacher, StĂ€bchen hinzulegen oder wegzunehmen. Denn letzteres wird mit eingeritzten Kerben schwieriger.
Die Zahl "1" sieht dann so aus: I ;
die "5" so: IIIII; die Zahl n schreiben wir dann so: I...I
Diese Schreibweise kennen wir von den alten Römern. FĂŒr die galt:
1 = I, 2 = II, 3 = III, 4 = IIII
aber damit war Schluss, weil die Sache sonst zu unĂŒbersichtlich wird. Der britische Mathematiker und Computer-Experte Alan Turing (1912 - 1954) verwendete die gleiche Schreibweise bei der Beschreibung seiner Universal-Automaten: Auf ein endloses Band kann die Maschine eine "I" schreiben oder dieses Symbol wieder ausradieren.

Den Prozess des WeiterzĂ€hlens kennzeichnen wir ganz einfach dadurch, dass wir rechts noch ein StĂ€bchen dazulegen. Um zu zeigen, dass hier etwas Neues dazukommt, schreiben wir dieses StĂ€bchen in fett. Der Übergang von n zu n+1 (symbolisiert durch den Pfeil) sieht also dann so aus:
I...I --> I...II
Auch fĂŒr den Prozess des WeiterzĂ€hlens, also fĂŒr die Nachfolger-Operation, brauchen wir noch ein Symbol. DafĂŒr haben sich die Mathematiker zwei Schreibweisen ausgedacht. Die erste setzt neben die Zahl einfach einen Strich: n' ("n-Strich") ist der Nachfolger von n. Der ' bedeutet also sowohl den Prozess als auch das Ergebnis. Die zweite Schreibweise lehnt sich an die Schreibweise von Funktionen an. Das sieht dann so aus:


NACHFOLGER(x) = NFL(x) --> x'

Gelesen: Die Anwendung der Funktion "Nachfolger" (abgekĂŒrzt: NFL) auf eine Zahl x liefert die Nachfolgezahl x'.
Mit einer solchen Schreibweise können wir schon einige andere wichtige Operationen durchfĂŒhren und einfach darstellen. So kann ich ja auch die ĂŒbernĂ€chste Zahl suchen, das wĂ€re dann x'' ("x-zwei-Strich"). Mit der Funktionendarstellung sĂ€he das dann so aus:


NFL(NFL(x)) = NFLÂČ(x) --> x''


Ausgesprochen: "NFL hoch 2" oder "NFL-Quadrat" oder "NFL, zweimal angewandt". Der Vorteil dieser Darstellung: Statt der "2" können wir wieder eine allgemeine Zahl einsetzen, sagen wir k, und das sieht dann so aus:


NFL^k(x) ("NFL hoch k, k-ter Nachfolger von x")


ist also der k-te Nachfolger von x - und das ist nichts anderes als x+k.
Wieso haben wir nicht gleich mit "+" und "-" gearbeitet? Weil wir diese Operationen noch nicht kennen. Die werden wir im nĂ€chsten Kapitel einfĂŒhren. Bisher gibt es nur das WeiterzĂ€hlen und die ganzen Zahlen, genauer: die positiven ganzen oder natĂŒrlichen Zahlen, das sind die Zahlen 1,2,3,...
Jetzt machen wir uns ein paar allgemeine Gedanken. Die erste Frage lautet: Wieviele Zahlen können wir auf diese Weise erzeugen? Unendlich viele? Leider nein, es sind nur beliebig viele, und das ist nicht unendlich. Zwar können wir zu jeder noch so großen Zahl eine grĂ¶ĂŸere finden, aber das fĂŒhrt uns noch nicht in die Unendlichkeit. Um das Unendliche echt zu fassen, brauchen wir mehr.
Gibt es zu jeder Zahl einen Nachfolger? Ja, denn StÀbchen zeichnen kostet nichts. Das Gegenteil des Nachfolgers ist der VorgÀnger, das ist jene Zahl, die man erhÀlt, wenn man ein StÀbchen wegnimmt. Gibt es zu jeder Zahl einen VorgÀnger? Nein, denn bei der "I" können wir noch ein StÀbchen wegnehmen, dann kommen wir zur Null. Aber von der können wir nichts mehr wegnehmen, denn es liegt ja nichts mehr da. Also haben wir schon zwei Erkenntnisse:
(1) Jede Zahl hat einen Nachfolger.
(2) Nicht jede Zahl hat einen VorgÀnger.
Was ziemlich banal klingt, wird im Unendlichen spannend: Gelten diese Gesetze dort auch noch? Wenn ja, was heißt das? Wenn nein, warum nicht?
Der Aufbau der Zahlen ist ein Musterbeispiel fĂŒr die Vorgehensweise der Mathematik. Darum ist es auch so wichtig, diesen Prozess in allen Einzelheiten darzustellen und zu verstehen. Als nĂ€chstes werden wir versuchen, allein mit diesen Symbolen und Erkenntnissen die ĂŒblichen mathematischen Operationen zu definieren. Dabei beschrĂ€nken wir uns auf die "aufbauenden" Funktionen Addition, Multiplikation und Exponentiation, denn die liefern immer grĂ¶ĂŸere Zahlen - und wir wollen hoch hinaus!

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