Zwischenspiel: Hilberts Hotel und eine magische Kugel

Damals studierte er Mathematik; aber sp├Ąter ist er ein Dichter geworden. Zur Mathematiker hatte er nicht genug Phantasie.
David Hilbert


In B├╝chern ├╝ber das aktual Unendliche wird oft das Beispiel von Hilberts Hotel genommen, um zu zeigen, was im Unendlichen alles m├Âglich ist. David Hilbert (1862 - 1943) war ein gl├╝hender Verehrer Cantors und dachte sich folgenden Vorgang zur Illustrierung von Cantors Ideen aus: Sein Hotel besteht aus ω Zimmern, von denen jedes nur eine Person fasst. (Denken Sie an japanische Hotels und ihre Schlafkojen.)
Eines Tages war das Hotel voll, bis auf den letzten Platz. Ein sp├Ąter Besucher begehrte dennoch Einlass, und der wurde ihm auch gew├Ąhrt. Alle Besucher r├╝ckten um einen Platz nach rechts, also dorthin, wo sich das Hotel ins Unendliche erstreckt. So wurde das erste Zimmer frei, und unser sp├Ąter Gast konnte sich zur wohlverdienten Ruhe niederlegen.
Blo├č, wie ist das wirklich gegangen? Etwa so:


Hilberts Hotel

Alle Zimmerinsassen r├╝ckten um einen Platz nach rechts, aber gleichzeitig, weil in einem Zimmer nicht mehr als eine Person Platz hat. Aber wie soll dieses "gleichzeitig" vor sich gehen? Einer muss den Befehl geben, doch der muss sich unendlich schnell ausbreiten, was nicht m├Âglich ist, nicht mal in der Mathematik. Also haben sich die Mathematiker die Erlaubnis f├╝r einen unendlich schnellen, gleichzeitigen Wechsel selbst gegeben. Das Ganze nannten sie Auswahlaxiom (zuerst formuliert von Ernst Zermelo), weil es jeden Mathematiker bef├Ąhigen soll, aus unendlich vielen Mengen gleichzeitig mindestens ein Element auszuw├Ąhlen.
Was dadurch m├Âglich wurde, brachte die Mathematik ziemlich durcheinander und stie├č auch vielen Mathematikern sauer auf. Denn durch das Verschieben haben wir ein Element dazu gewonnen, allein durch Umschichten, was ja nicht gerade eine kreative T├Ątigkeit ist. Wenn wir es geschickt anstellen, dann k├Ânnen wir links auch unendlich viele G├Ąste zus├Ątzlich unterbringen - die Menge h├Ątte sich also verdoppelt.
Die beiden polnischen Mathematiker Stefan Banach (1892 - 1945) und Alfred Tarski (1902 - 1983) konstruierten daraus ein kurioses Paradoxon, das nach ihnen benannt wurde. Sie zerlegten eine Kugel in f├╝nf Teile. Einer davon ist nur ein Punkt (der Mittelpunkt), der Rest vier gleich gro├če Mengen, also Viertelkugeln. Durch geschicktes Drehen werden immer mehr Punkte hinzugef├╝gt, sodass zwei der Viertelkugeln zu Dreiviertelkugeln anwachsen. Das ergibt dann als Ma├č der Kugel: 2 x ┬ż + 2 x ┬╝ = 8/4 = 2. Die Kugel hat sich verdoppelt, aus eins mach zwei, wir waren dabei.
Banach Tarski
Banach und Tarskis magische Kugel: Durch einfache Drehungen verdoppelt sie sich erst, bis man sie beliebig vervielfachen kann - Mathematik oder Magie?


Angeblich haben sich Banach und Tarski die magische Kugel ausgedacht, um den Unsinn des Auswahlaxioms zu demonstrieren. Sollte das wirklich ihre Absicht gewesen sein, sie ist ihnen gr├╝ndlich misslungen. Die Mathematiker - jedenfalls die Anh├Ąnger Cantors - sind stolz auf diese Erkenntnis, auch wenn aus ihr folgt, dass es Mengen gibt, die man nicht messen kann. Und mit denen ist nat├╝rlich alles M├Âgliche m├Âglich, doch vieles davon bleibt unm├Âglich.

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